Distancia más corta

Es bastante conocido e intuitivo que el camino más corto entre dos puntos en el plano es la línea recta. En este post vamos a dar una prueba formal de que efectivamente es la línea recta, para ello primero veamos la clase de caminos que tomaremos en cuenta: Es razonable pedir que sean continuos y sin auto-intersecciones, es decir, podemos pensarlos como funciones continuas que pasan por ambos puntos, además, vamos a suponer que son continuamente diferenciables ($\mathcal{C}^1$). Un resultado útil de cálculo diferencial es la fórmula del largo de una curva determinada por el grafo de una función $f\in\mathcal{C}^1$ en un intervalo $[a,b]$ que es $$ L_{a}^b(f) = \int_{a}^b\sqrt{1+f'(x)^2}dx $$ Con lo anterior, el problema queda descrito como sigue: 

Sean $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2$ con $x_1<x_2$, queremos minimizar el funcional $L_{x_1}^{x_2}(\cdot)$ sobre el conjunto $$\Lambda = \{ f\in\mathcal{C}^1([x_1,x_2]) : f(x_1) = y_1, f(x_2) = y_2 \}$$ Notar que la recta que une ambos puntos se representa por la función $\overline{f}(x) = \left(\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)(x-x_1)+y_1$ que pertenece a $\Lambda$ y además cumple que $$L_{x_1}^{x_2}(\overline{f}) = \sqrt{(y_2-y_1)^2 + (x_2-x_1)^2}.$$ Para dar una solución de este problema, usaremos la conocida desigualdad de Cauchy-Schwarz, que en su versión en $\mathbb{R}^n$ nos dice que si $v_1,v_2\in\mathbb{R}^n$ entonces $|v_1\cdot v_2|\leq \| v_1 \|_2\|v_2\|_2$. Tomemos $f\in\Lambda$, notemos que $$\frac{d}{dx}\left(\sqrt{(f(x)-y_1)^2 + (x-x_1)^2}\right) = \frac{f'(x)(f(x)-y_1)+(x-x_1)}{\sqrt{(f(x)-y_1)^2 + (x-x_1)^2}}$$ Por Cauchy-Schwarz sigue que $$ \sqrt{f'(x)^2+1}\sqrt{(f(x)-y_1)^2 + (x-x_1)^2}\geq f'(x)(f(x)-y_1)+(x-x_1) $$ Por tanto $$ \sqrt{f'(x)^2+1}\geq \frac{d}{dx}\left(\sqrt{(f(x)-y_1)^2 + (x-x_1)^2}\right) $$ La desigualdad anterior la tenemos para todo $x\in (x_1,x_2]$, luego integrando en ese intervalo y ocupando el teorema fundamental del cálculo sigue que $$ L_{x_1}^{x_2}(f) = \int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+f'(x)^2}dx\geq \sqrt{(y_2-y_1)^2 + (x_2-x_1)^2} $$ De lo anterior sigue que $\displaystyle\inf_{f\in\Lambda}L_{x_1}^{x_2}(f)\geq \sqrt{(y_2-y_1)^2 + (x_2-x_1)^2}$ y el ínfimo se alcanza en $\overline{f}$. Esto muestra que el mínimo $L_f$ en $\Lambda$ es $\overline{f}$, es decir, la recta que une $(x_1,y_1)$ con $(x_2,y_2)$.