Topología y números primos

  En este post mostraré una inesperada manera de probar que los números primos son infinitos: mediante topología. 

   Definiremos $\mathcal{T}$, una topología sobre $\mathbb{Z}$ generada por los conjuntos $N_{a,b} = \{ a+nb|n\in\mathbb{Z} \}$ donde $(a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}\setminus\{0\}$ (es decir, la topología más pequeña tal que aquellos conjuntos sean abiertos). Partamos viendo que esta familia de conjuntos además define una base para $\mathcal{T}$.

   Notemos que si $x\in\mathbb{Z}$ entonces $x\in N_{x,1}$. Por otro lado, si $(a,b), (c,d)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{N}\setminus\{0\}$ entonces si $N_{a,b}\cap N_{c,d} \neq \emptyset$ tomemos $x\in N_{a,b}\cap N_{c,d}$ y así $N_{x,bd}\subset N_{a,b}\cap N_{c,d}$. Por tanto, se tiene que $(N_{a,b})_{(a,b)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{N}\setminus\{0\}}$ es base para $\mathcal{T}$.

   Probemos algunas cosas útiles acerca de esta topología:

-Todo abierto no vacío es infinito: En efecto, si $O$ es un abierto no vacío, entonces existe $N_{a,b}\subset O$ con $(a,b)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{N}\setminus\{0\}$ pero como $b>0$ sigue que $N_{a,b}$ es infinito y por tanto $O$ también lo es.

-$N_{a,b}$ con $(a,b)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{N}\setminus\{0\}$ es cerrado: Por el teorema de la división existen únicos $q,r\in\mathbb{Z}$ tales que $a = qb+r$ donde $0\leq r<b$. No es difícil ver que $$N_{a,b} = \mathbb{Z}\setminus \left(\bigcup_{c\in\{0,1,..,b-1\}\setminus\{r\}} N_{c,b}\right)$$ como cada $N_{c,b}$ es abierto por construcción, entonces $N_{a,b}$ resulta ser el complemento de un abierto, por tanto es cerrado.

   Supongamos que el conjunto de los números primos ($\mathbb{P}$) es finito. Es claro que todo entero, distinto de $-1$ y $1$ es múltiplo de algún número primo (teorema de la factorización única), por tanto tenemos directamente que $$ \mathbb{Z}\setminus\{-1,1\} = \bigcup_{p\in\mathbb{P}}N_{0,p} $$ Como esta unión es finita y probamos que $N_{0,p}$ es cerrado, entonces la unión determina un conjunto cerrado y por tanto $\mathbb{Z}\setminus \{-1,1\}$ es cerrado, así $\{-1,1\}$ es abierto, pero vimos que todo conjunto abierto no vacío es infinito, lo que es una contradicción. Esto demuestra que los números primos son infinitos.