Recordemos que un espacio topológico $X$ se dice normal si para cada par de cerrados disjuntos $A,B$ existen abiertos disjuntos $U$, $V$ tales que $A\subset U$ y $B\subset V$. En estos espacios tenemos el siguiente resultado, conocido como el Lema de Urysohn
Teorema: Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico normal. Sean $A,B$ cerrados disjuntos de $X$, entonces existe $f: X\to [0,1]$ continua tal que $f\equiv 0$ en $A$ y $f\equiv 1$ en $B$.
Demostración: Sea $\Delta = \{k2^{-n} : n\geq 1, 0<k<2^n\}$ los diádicos de $(0,1)$. Probemos que existe una familia de abiertos $\{U_r: r\in\Delta\}$ tal que $A\subset U_r\subset B^c$ para cada $r\in \Delta$ y además si $r<s$ entonces $\overline{U}_r\subset U_s$. En efecto, por la normalidad existen $V,W$ abiertos disjuntos tales que $A\subset V$ y $B\subset W$, como $V\cap W=\emptyset$ entonces $V\subset W^c$ y como $W^c$ es cerrado entonces $\overline{V}\subset W^c$, luego, $A\subset V\subset \overline{V}\subset W^c\subset B^c$, así, escogemos $U_{1/2} = V$. La construcción sigue inductivamente. Supongamos que tenemos los abiertos $\{U_r: r = k2^{-n}, 0<n<N, 0<k<2^n\}$ cumpliendo lo requerido, tomemos $j2^{-N}$ con $0<j<2^N$, si $j$ es par entonces tomamos $U_{j/2^{N}} =U_{(j/2)/2^{N-1}}$, si $j$ es impar existe $0<k<2^{N-1}$ tal que $k< j/2<k+1$, luego, $A\subset U_{k/2^{N-1}}\subset B^c$ y $\overline{U_{k/2^{N-1}}}\subset U_{(k+1)/2^{N-1}}$, entonces si tomamos $C = \overline{U_{k/2^{N-1}}}$ y $D = U_{(k+1)/2^{N-1}}^c$ que son cerrados disjuntos, con el mismo argumento del principio tenemos que existen $M, N$ abiertos disjuntos tales que $C\subset M\subset \overline{M}\subset N^c\subset D^c$, luego, tomando $U_{j2^{-N}} = M$ se tiene que $A\subset \overline{U_{k/2^{N-1}}}\subset U_{j2^{-N}}\subset\overline{U_{j2^{-N}}}\subset U_{(k+1)/2^{N-1}}\subset B^c$. De esta manera, es claro que la familia $\{U_r: r\in\Delta\}$ cumple lo que se quería. Con esta familia y haciendo $U_1 = X$, definamos $$f(x) := \inf\{r: x\in U_r\}$$ notar que $0\leq f\leq 1$, además como para todo $r\in \Delta$, $A\subset U_r\subset B^c$ entonces $f\equiv 0$ en $A$ y $f\equiv 1$ en $B$. Por otra parte, notemos que $f(x)<\alpha$ ssi existe $r<\alpha$ tal que $x\in U_r$ ssi $x\in \bigcup_{r<\alpha}U_r$ entonces $f^{-1}((-\infty,\alpha)) = \bigcup_{r<\alpha}U_r$ que es un abierto. Además, usando que $\Delta$ es denso en $[0,1]$ vemos que: $f(x)>\beta$ ssi $x\notin U_r$ para algún $r>\beta$ ssi $x\notin \overline{U_s}$ para algún $s>\beta$ (pues $\overline{U}_s\subset U_r$ si $s<r$) entonces $f^{-1}((\beta,+\infty)) = \bigcup_{s>\beta}(\overline{U}_s)^c$ que es abierto, luego $f^{-1}((\alpha,\beta))$ es un abierto para cualquier intervalo abierto, luego $f$ es continua y tenemos el resultado $\blacksquare$
