Tres jóvenes rinden unos exámenes

  Este problema es una adaptación de un problema que apareció en la Olimpiada Internacional de Matemáticas en 1974. Lo interesante es que es de esos problemas en los que se pueden chequear muchos casos particulares de manera sencilla, pero que no aseguran tener una solución concreta.

Problema

   Lautaro, Camilo y Rafael dan los mismos exámenes. Cada nota es un entero positivo. Camilo fue el primero en física. Lautaro obtuvo un puntaje total de $20$, Camilo, un total de $10$ y Rafael, un total de $9$. Entre todos los exámenes, no hubo dos puntajes que se repitieran. Determine cuántos exámenes rindieron, y quién fue el segundo en matemática.

Solución

   Algo importante al empezar es que el enunciado del problema nos pregunta por quien fue el segundo  mejor en matemáticas, cuando no sabemos cuantas pruebas se rindieron y tenemos un poco de información acerca de la prueba de física y los puntajes totales. Si hubiese más de un ramo, a parte de física, ¿podríamos distinguir cuales fueron los puntajes en matemáticas?

   Primero probaremos que sólo se rindieron dos exámenes, sea $k$ el número de exámenes rendidos, sean $\{a_1, ..., a_{3k}\}$ los puntajes obtenidos por Lautaro, Camilo y Rafael en los exámenes, sabemos que todos estos puntajes son distintas, y además podemos suponer que están ordenados, es decir, $a_{i}<a_{i+1}$ (sin perder generalidad) para todo $i\in\{1,...,3k-1\}$, luego como los $a_i$ son enteros positivos debe cumplirse que $a_i\geq i$ para todo $i\in \{1,...,3k\}$ y esto puede probarse por inducción: claramente $a_1\geq 1$ (por hipótesis), supongamos que $a_i\geq i$, luego, como $a_{i+1}>a_i$ entonces $a_{i+1}\geq a_i + 1$ (pues son números enteros), entonces $a_{i+1}\geq i+1$ y entonces concluimos que para todo $i\in\{1,..,3k\}$ tenemos que $a_i\geq i$, luego si sumamos todos estos puntajes por hipótesis tenemos que $$ 39 = 20+10+9=\sum_{i=1}^{3k}a_i\geq \sum_{i=1}^{3k}i = \frac{3k(3k+1)}{2} $$ y entonces obtenemos que $k(3k+1)\leq 26$, pero vemos que si $k\geq 3$ entonces $k(3k+1)\geq 3\cdot 10=30$ por lo tanto tenemos que $k\leq 2$, es decir se rindieron a lo más dos exámenes. 

   Si se hubiese rendido un sólo examen, sería sólo el de física, y acá tenemos una contradicción porque en tal caso Lautaro tendría puntaje $20$ en física y Camilo puntaje $10$, pero Camilo fue el mejor en física. Por lo tanto se rindieron dos exámenes, de física y matemáticas.

    Sea $N_f^c, N_f^l, N_f^r$ los puntajes en física de Camilo, Lautaro y Rafael, respectivamente. Por hipótesis se tiene que $N_f^c>N_f^l$ y $N_f^c>N_f^r$. Además tenemos que $N_m^c = 10-N_f^c$, $N_m^l = 20-N_f^l$ y  $N_m^r = 9-N_f^r$ son los puntajes de el examen de matemáticas de Camilo, Lautaro y Rafel, respectivamente.

   Como $N_f^c>N_f^r$, tenemos que $$N_f^c\geq N_f^r+1\Rightarrow 9-N_f^r\geq 10-N_f^c\Rightarrow N_m^r\geq N_m^c$$ es decir, Rafael obtuvo mejor puntaje en matemáticas que Camilo. Veamos que Lautaro obtuvo mejor nota que Rafael: Si no fuese así, entonces tenemos que $N_m^r>N_m^l$ es decir, $N_m^r\geq N_m^l + 1$, sigue que $ 10-N_f^r\geq 20-N_f^l+1 $ y por lo tanto $N_f^l\geq 11+N_f^r$, pero como Camilo fue el mejor en física, tenemos que $N_f^c\geq N_f^l$ y $N_f^r\geq 1$ por lo tanto $N_f^c\geq 12$ pero esto es una contradicción pues el puntaje total de Camilo es $10$, por tanto Lautaro obtuvo mejor puntaje en matemáticas que Rafael. De esto último se sigue que Rafael fue el segundo mejor puntaje en matemáticas.