Un sistema de ecuaciones especial

$\textbf{Problema}$

Sean $a,b,x,y,z\in\mathbb{R}_+$, determine la suma $x+y+z$ sabiendo que $$\begin{equation} x^2 + xy + y^2 = a^2\\ y^2 + yz + z^2 = b^2\\ x^2 + xz + z^2 = a^2 + b^2\\ \end{equation}$$

$\textbf{Solución}$

Veamos que $x^{2}+xy+y^2=a^2\Rightarrow x^2+y^2-2xy\cos{\frac{2\pi}{3}}=a^2$, es decir, por el Teorema del coseno podemos formar un triángulo de lados $x,y,a$ y ángulo $\frac{2\pi}{3}$. Haciendo lo mismo en las demás ecuaciones vemos que podemos formar triángulos de lados $x,z,b$ y $z,y,\sqrt{a^2+b^2}$, de tal manera que podemos construir el siguiente triángulo: 

Donde $\triangle{ABC}$ es rectángulo en $A$ y $\angle{APC}=\angle{BPC}=\angle{APB}=\frac{2\pi}{3}$. Por áreas tenemos que: $$\sin{\left(\frac{2\pi}{3}\right)}\left(\frac{xy}{2}+\frac{yz}{2}+\frac{xz}{2}\right)=\frac{ab}{2}\Rightarrow xy+yz+xz=\frac{2ab}{\sqrt{3}}$$ puesto que el área de un triangulo $\triangle{XYZ}$ puede calcularse como $\frac{1}{2}\overline{XY}\cdot \overline{YZ}\cdot \sin{(\angle{XYZ})}$. Además, sumando las ecuaciones se obtiene que $$2(x^2+y^2+z^2)+(xy+yz+xz)=2(a^2+b^2)$$ $$\Rightarrow 2(x+y+z)^2=2(a^2+b^2)+3(xy+yz+xz)$$ $$\Rightarrow 2(x+y+z)^2=2(a^2+b^2)+3\cdot \frac{2ab}{\sqrt{3}}$$ $$x+y+z=\sqrt{a^2+b^2+ab\sqrt{3}}  \ \blacksquare$$