$\textbf{Teorema}$
Sea $(G,\cdot)$ un grupo finito y $H$ subgrupo de $G$ con índice $p$, donde $p$ es el menor primo que divide a $|G|$. Entonces $H$ es normal.
obs: Notar que $H$ es el subgrupo de mayor orden posible.
$\textbf{Demostración}$
Definamos $X = G/H$, que a priori no es un grupo (con la operación usual), pero a fortiori lo será. Vemos que por hipótesis $|X| = p$. Denotemos por $S_X$ al conjunto de las permutaciones de $X$ en $X$, que es un grupo con la composición de funciones y además $|S_X| = p!$. Definamos la función $ \psi: G\to S_X $ dada por $\psi(g)(aH) = gaH$ y veamos que es un morfismo. Está bien definida pues $\psi(g)\in S_X$, $\forall g\in G$, y $$\psi(gk)(aH) = gkaH = g(kaH) = \psi(g)(kaH) = \psi(g)\circ\psi(k)(aH)$$ lo que prueba que es un morfismo. Sea $K = \text{Ker}(\psi)$, es directo que $K\subset H$, además por el teorema del isomorfismo sabemos que $\tilde{\psi}:G/K\to\text{Im}(\psi)$ es un isomorfismo, por lo que $[G:K] = |G/K| = |\text{Im}(\psi)|$ pero por el teorema de lagrange $|\text{Im}(\psi)|$ divide a $|S_X| = p!$ y por tanto $[G:K]|p!$. Notar que $[G:K]\geq [G:H] = p$. Supongamos que existe un $q$ primo dividiendo a $[G:K]$ entonces $q|p!$ luego $q\leq p$ pues en la factorización prima de $p!$ sólo aparecen primos menores o iguales que $p$, pero por el teorema de lagrange $[G:K]\cdot |K| = |G|$ lo que indica que como $q$ divide a $[G:K]$ también divide a $|G|$, luego $q=p$ pues $p$ es el menor primo que divide a $|G|$. Lo anterior muestra que el único primo que divide a $[G:K]$ es $p$ y por tanto $[G:K] = p^n$ con $n\geq 1$ luego $$p^n|p!\Rightarrow p^{n-1}|(p-1)!$$ lo que indica que $n=1$ pues en la factorización prima de $(p-1)!$ no aparece $p$. Luego $[G:K] = [G:H]=p$ por tanto $|H| = |K|$ pero vimos que $K\subset H$ por tanto $K=H$. Como $K$ es el núcleo de un morfismo, este es normal, por tanto $H$ es normal.
No hay comentarios:
Publicar un comentario