Topología cuociente

    La topología cuociente es una topología que nace a partir de un espacio topologico $(X,\tau)$ y una relación de equivalencia $\sim$ definida sobre $X$ en donde al espacio cuociente $X / \sim$ se le dota de la topología más fina que hace que la proyección canónica $\pi: X\to X / \sim$ ($x\mapsto [x]_\sim$) sea continua, a esta topología resultante le llamamos la topología cuociente $\tau_\sim$. De la definición, es claro que $$U\in\tau_\sim \iff \pi^{-1}(U)\in\tau$$   Al definir esta topología, algunas preguntas naturales que surgen es qué propiedades se heredan del espacio $(X,\tau)$. Veremos un ejemplo en donde el espacio $(X,\tau)$ es hausdorff pero para cierta relación $\sim$, el espacio cuociente no resulta hausdorff (recordemos que un espacio es de hausdorff si para cada par de puntos $x\neq y$ existen vecindades de aquellos puntos tales que estas no se intersectan). 

   Para esto, tomemos $X = \mathbb{R}$ con la topología usual (que es un hausdorff). Tomemos la relación de equivalencia $\sim$ definida por $x\sim y\iff x-y\in\mathbb{Q}$. Sea $V$ un abierto que contiene a $[\sqrt{2}]_\sim$, luego $\pi^{-1}(V)$ es un abierto de $\mathbb{R}$, como $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$ sigue que $\pi^{-1}(V)\cap\mathbb{Q}\neq \emptyset$. Sea $U$ un abierto conteniendo a $[0]_\sim$, luego $\pi^{-1}(U)$ es un abierto de $\mathbb{R}$ tal que $\mathbb{Q}\subset \pi^{-1}(U)$ pues $0\sim q, \forall q\in\mathbb{Q}$, de aquí se sigue que $\pi^{-1}(V)\cap\pi^{-1}(U)\neq \emptyset$ y por tanto $U\cap V\neq \emptyset$. Claramente tenemos que $[0]_\sim \neq [\sqrt{2}]_\sim$ y la deducción anterior nos muestra que cada vez que escojamos $U$ vecindad abierta de $[0]_\sim$ y $V$ vecindad abierta de $[\sqrt{2}]_\sim$ se tendrá que $U\cap V\neq \emptyset$, es decir, este espacio no puede ser hausdorff.

   Ahora, veamos un caso (bien particular) donde la topología cuociente resulta ser hausdorff. Supongamos que $(X,\tau)$, $(Y,\tau ')$ son dos espacios topológicos los cuales se relacionan por una función continua $f:X\to Y$, si suponemos que $(Y,\tau ')$ es un hausdorff y la relación de equivalencia $x\sim y \iff f(x) = f(y)$, entonces $(X / \sim,\tau_\sim)$ resulta hausdorff. En efecto, si $[x]_\sim\neq[y]_\sim$ entonces $f(x)\neq f(y)$, como $Y$ es hausdorff se sigue que existen $U_x$ vecindad de $f(x)$ y $U_y$, vecindad de $f(y)$ tal que $U_x\cap U_y=\emptyset$, luego, definamos $O_x = \{ [z]_\sim : f(z)\in U_x \}$ y $O_y = \{ [z]_\sim : f(z)\in U_y \}$, es claro que son disjuntos, además son abiertos pues $\pi^{-1}(O_x) = \{ z: [z]_\sim\in O_x  \} = \{ z : f(z)\in U_x \} = f^{-1}(U_x)$ que es un abierto de $X$ pues $f$ es continua, además $[x]_\sim\in O_x$, de la misma manera se prueba que $\pi^{-1}(O_y) = f^{-1}(U_y)$ y así probamos que existen vecindades disjuntas separando a puntos distintos, por tanto $(X / \sim,\tau_\sim)$ es hausdorff.